Bakalářské studium matematiky

Bakalářské studium Matematika se zaměřením na vzdělávání je nabízeno v jednooborové či dvouoborové variantě a v prezenční i kombinované formě.

Cílem studia bakalářského studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání je zajistit široké všeobecné vzdělání studentů v oblasti matematiky v širších souvislostech univerzitního vzdělání včetně základů pedagogiky a psychologie, rozvinout jejich matematickou kulturu a připravit je na praktické aplikace získaných poznatků při výkonu povolání, především v oblasti zájmové činnosti dětí a mládeže a ve státní správě při zpracování dat.

Bakalářský studijní obor Matematika se zaměřením na vzdělávání byl od počátku připravován s ohledem na skutečnost, že očekávanou prioritou absolventa tohoto studia bude následné magisterské studium učitelství matematiky jako všeobecně vzdělávacího předmětu pro ZŠ a SŠ.

Profil absolventa tohoto oboru odpovídá „obecnému“ profilu absolventa bakalářského studia specializace v pedagogice ve studijním oboru se zaměřením na vzdělávání na UK v Praze, Pedagogické fakultě.

• Výstupní znalosti (všeobecné, odborné a speciální): Absolvent bakalářského studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání získá široké všeobecné vzdělání v základních matematických disciplínách.
• Výstupní dovednosti (všeobecné, odborné a speciální): Absolvent oboru dovede teoretické poznatky aplikovat při řešení matematických úloh, problémů z praxe i problémů svého druhého oboru řešitelných matematickými prostředky. Je vybaven dovednostmi, které mohou být uplatněny při zpracovávání dat, při psaní matematických textů apod. Je připraven pracovat s dětmi, mládeží i s dospělými v oblasti mimoškolních vzdělávacích aktivit, zejména se zaměřením na matematiku. Díky svým širokým matematickým vědomostem je adaptabilní na měnící se pracovní podmínky především v oblasti práce s daty a přiměřeně v oblasti informačních technologií. Je připraven samostatně si doplňovat nové vědomosti a praktické profesní dovednosti.
• Charakteristika profesí a institucí, kde může absolvent uplatnit získané vzdělání: Absolvent bakalářského studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání může vykonávat kvalifikované profese na úřadech a v institucích soukromého i státního sektoru, např. na úřadech práce, na odborech sociálního zabezpečení, v nadacích a občanských sdruženích orientovaných na mimoškolní vzdělávací aktivity, na zájmovou činnost dětí, mládeže i dospělých a na organizaci aktivního trávení volného času.

Absolvent tohoto studijního oboru má všechny předpoklady pro to, aby pokračoval v magisterském studiu Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ (matematika) na UK v Praze, Pedagogické fakultě nebo na jiných vysokých školách.

Absolvent bakalářského studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání není kvalifikován jako učitel.

Plány příslušné pro novou akreditaci od roku 2021/22 jsou zde: https://pedf.cuni.cz/PEDF-2169.html (prezenční forma) a zde: https://pedf.cuni.cz/PEDF-2169.html#9 (kombinovaná forma)

Plán studia pro starší akreditace najdete na webu fakulty v části určené studentům (Karolinka).

Požadavky k přijímacím zkouškám

Aktuální informace k přijímacím zkouškám z matematiky najdete na webu studijního oddělení, kde si vyhledáte obor Matematika zaměřená na vzdělávání.

Témata bakalářských prací

Téma bakalářské práce si student může vybrat z nabídky ze seznamu v SIS, případně si vymyslet vlastní téma a dohodnout se přímo s vyučujícím.

Odevzdávání bakalářských prací

Student odevzdává jeden výtisk bakalářské práce na sekretariát KMDM v době, kdy odevzdá elektronickou verzi práce. Nezáleží na způsobu, jakým je výtisk svázán. Výtisk bude po obhajobě studentovi vrácen.

Klauzurní práce

Nutným předpokladem pro připuštění k SZZ je vykonání tzv. klauzurní práce. Ta je konána třikrát ročně v určitém předstihu před SZZ: v prosinci nebo lednu, v květnu nebo červnu a v srpnu nebo září. Do tohoto předmětu se student přihlásí kdykoli během studia, je možné se do něj přihlásit pouze jednou. Možnost skládat zkoušku se přesouvá automaticky do dalších semestrů a let, student může zkoušku absolvovat celkem třikrát.

Klauzurní práce má formu písemného testu, který obsahuje po jedné úloze z každého ze tří základních okruhů: Algebra, Analýza a Geometrie. Na každý školní rok je pro každý okruh stanoveno téma, z nějž jsou úlohy vybírány. Pro rok 2023/24 jsou stanovena tato témata: analytická geometrie v rovině, integrální počet a grupy permutací.

Při zkoušce není dovoleno používat žádné materiály s výjimkou tzv. „pomocného listu“, na nějž si student může předem sepsat libovolné informace, které ke stanoveným tématům považuje za relevantní. Pomocný list je jeden list formátu A4, který musí být podepsán, nesmí být přeložen, může být popsán z obou stran a obsah musí být psán ručně (kopie ručně psaných listů nejsou přípustné). Administrátor zkoušky si může pomocný list kdykoli v průběhu zkoušky vyžádat ke kontrole.

Z výpočetních nástrojů je při zkoušce je povoleno používat pouze negrafický kalkulátor. Kalkulátorem se rozumí specializované zařízení, není povoleno užívat multifunkční zařízení s kalkulativním softwarem jako mobilní telefony, tablety či počítače.

Nahlížení do testů je možné max. do 14 dnů po datu konání klauzurní práce.

Informace pro studenty, kteří vstoupili do studia v 2021/22 a později

Klauzurní práce z SŠ matematiky je zkouška ověřující porozumění středoškolské matematice na úrovni maturitní zkoušky Matematika+. K předmětu není výuka, pouze jedna konzultace, v rámci které se studenti seznámí s požadavky a mají možnost si napsat jeden test na nečisto. Předmět si studenti zapisují jen jedenkrát za celé studium a mají v průběhu celého studia 3 možnosti na splnění klauzurní práce. Termín je obvykle vypisován před státními zkouškami (3x za rok).

Podmínky pro psaní testu se shodují s podmínkami pro psaní maturirní zkoušky Matematika +, studenti mohou využívat kalkulátor (nikoli grafický), rýsovací pomůcky a matematicko-fyzikální tabulku. Struktura testu je obdobná, jako u uvedené maturitní zkoušky, min. 40 % tvoří základní úlohy, min. 45 % standardní úlohy a min. 5 % nadstandardní.

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám (pro studenty, kteří vstoupili do studia od 2021/22)

Studenti dvouoborového studia

SZZ má dvě části, okruhy/témata jsou vymezeny následovně:

• 1. část SZZ: Obhajoba závěrečné práce
• 2. část SZZ: Matematika (z každého okruhu si student losuje jednu otázku)
  Okruh M1: Planimetrie, Stereometrie, Lineární algebra a geometrie
  Okruh M2: Posloupnosti a řady, Funkce, Infinitesimální počet, Pravděpodobnost a statistika
  Okruh M3: Číselné obory, Kombinatorika, Algebraické rovnice a nerovnice

Studenti jednooborového studia

SZZ má tři části, okruhy/témata jsou vymezeny následovně:

• 1. část SZZ: Obhajoba závěrečné práce
• 2. část SZZ: Matematika (z každého okruhu si student losuje jednu otázku)
  Okruh M1: Planimetrie, Stereometrie, Lineární algebra a geometrie
  Okruh M2: Posloupnosti a řady, Funkce, Infinitesimální počet, Pravděpodobnost a statistika
  Okruh M3: Číselné obory, Kombinatorika, Algebraické rovnice a nerovnice
• 3. část SZZ: Aplikovaná matematika (z každého okruhu si student losuje jednu otázku)
  Okruh A1: Aplikace algebry (Algebra v informatice, Symetrie, Matematická logika)
  Okruh A2: Aplikace matematické analýzy (Aplikace diferenciálního a integrálního počtu, Funkce dvou proměnných, Metrické a normované prostory)
  Okruh A3: Geometrie (Komplexní čísla, Lineární algebra a geometrie II, Neeuklidovská geometrie)

Seznam pojmů pro jednotlivé okruhy

Předpokládá se, že student dokáže o níže uvedených pojmech hovořit v širším kontextu.

M1: Planimetrie, Stereometrie, Lineární algebra

• Kolineace, středová kolineace; dvojpoměr, syntetické vlastnosti a incidenční věty.
• Afinní zobrazení, osová afinita; syntetické a analytické zavedení a vlastnosti, dělicí poměr, Cevova a Menelaova věta.
• Podobné zobrazení, stejnolehlost. Syntetické a analytické zavedení, vlastnosti; úhel.
• Shodné zobrazení. Syntetické a analytické zavedení, vlastnosti; vzdálenost.
• Kružnice, kruh a jejich vlastnosti. Mocnost bodu ke kružnici.
• Kruhová inverze. Apolloniovy úlohy a metody jejich řešení.
• Trojúhelníky, vlastnosti a věty o trojúhelníku.
• Čtyřúhelníky a další mnohoúhelníky. Klasifikace čtyřúhelníků.
• Množiny bodů dané vlastnosti a jejich konstrukce, kuželosečky.
• Mnohostěny, Eulerova věta, pravidelné mnohostěny.
• Zavedení základních geometrických těles, objemy a povrchy.
• Vektorové prostory, vlastnosti. Lineární zobrazení.
• Polohové a metrické vztahy v rovině a v prostoru. Synteticky i analyticky.
• Skalární součin a vektorový součin.
• Matice, determinant.
• Afinní a eukleidovský prostor, zavedení kartézské soustavy souřadnic.
• Soustavy lineárních rovnic, maticová reprezentace a její využití k určení řešení, struktura řešení.

M2: Posloupnosti a řady, Funkce, Infinitesimální počet, Pravděpodobnost a statistika

• Posloupnosti, jejich vlastnosti, limita posloupnosti, vybraná posloupnost.
• Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou konvergentních posloupností.
• Řady, jejich součet, kritéria konvergence, geometrická a harmonická řada.
• Mocninné řady, obor konvergence, jejich derivování a integrování, rozvoj funkcí v řady.
• Řady pro výpočet čísel - např. , , , Eulerovo číslo, Ludolfovo číslo a jejich význam
• Pojem funkce, elementární funkce a jejich grafy. Vlastnosti funkcí, monotonie, omezenost, extrémy.
• Skládání funkcí a jak se skládání projeví na grafu. Inverzní funkce.
• Limita funkce, spojitost funkce a jejich vzájemný vztah
• Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam, užití první a druhé derivace, derivování složené funkce.
• Primitivní funkce, Newtonův integrál
• Riemannův integrál, geometrický smysl, užití, Newton-Leibnizova formule
• Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost náhodných jevů.
• Statistické charakteristiky polohy.
• Statistické charakteristiky variability.

Požadavky najdete v souborech, nebo rozepsány níže:

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám – dvouobor

Student matematiky má při SZZ prokázat, že si osvojil v dostatečné šíři a v potřebných souvislostech základní poznatky a dovednosti z matematické analýzy, teoretické aritmetiky, algebry, syntetické a analytické geometrie a že je dokáže aplikovat při řešení praktických i teoretických úloh. Součástí zkoušky může být i prokázání početních dovedností. Nejsou povoleny žádné materiály.

Požadavky z matematiky

Základy matematiky (matematická logika, množiny).

Číselné obory.

Poziční soustavy, znaky dělitelnosti, diofantické rovnice, malá Fermatova věta a Eulerova věta.

Lineární algebra (matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic, vektorové prostory, lineární zobrazení).

Relační struktury (uspořádání, ekvivalence).

Polynomy (algebraické a funkční pojetí polynomu, dělitelnost, algebraické řešení rovnic, numerické řešení rovnic).

Algebraické struktury (grupa, obor integrity, těleso).

Operace s relacemi.

Relace na množině a její vlastnosti

Relace dělitelnosti a její vlastnosti

Relační struktury (uspořádání, ekvivalence).

Částečně uspořádané množiny, polosvazy, svazy a Bolleovy algebry.

Matice symetrií a symetrické matice.

Grupy a symetrie.

Symetrické polynomy

Trojúhelník, výšky, těžnice, kružnice opsaná a vepsaná, Pythagorova a Eukleidovy věty, věty o shodnosti a podobnosti, sinová a kosinová věta, obsah trojúhelníku.

Čtyřúhelník, mnohoúhelníky (vlastnosti a konstrukce).

Vektor (volný, vázaný), útvary v E2 a E3 a jejich incidenční vztahy studované pomocí vektorů. Repér, soustava souřadnic daná repérem, báze.

Geometrické transformace studované syntetickou (v E2, E3) i analytickou (v E2) metodou.

Shodnosti v rovině (skládání shodností, klasifikace shodností podle samodružných bodů a směrů, shodnosti přímé a nepřímé, grupa shodností).

Podobnosti v rovině (vlastní a nevlastní podobnosti, grupa podobností), stejnolehlost.

Dělicí poměr, dvojpoměr, Cevova věta, Menelaova věta.

Kružnice, mocnost bodu ke kružnici, chordála kružnic, kružnice v stejnolehlosti.

Kruhová inverze, Apolloniovy úlohy (pouze synteticky).

Afinity v A2, jejich klasifikace, syntetický i analytický popis, grupa afinit.

Kuželosečky (metrické vlastnosti).

Polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru (vzdálenosti, odchylky)

Geometrická tělesa (objemy a povrchy), Platónská tělesa, Eulerova věta.

Elementární funkce (definice, základní funkce (mocninné, odmocninné, lomené, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické), spojitost, algoritmy vyšetřování – definiční obor, obor hodnot, inverzní funkce, lineární transformace grafů).

Rovnice a nerovnice (rovnice a nerovnice v reálném oboru a jejich řešení; soustavy rovnic, rovnice s parametrem; úpravy rovnic a jejich ekvivalence).

Posloupnosti (definice, vlastnosti, limita posloupnosti a její výpočet).

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (spojitost, limita a derivace – definice, vlastnosti, výpočet; vlastnosti funkce spojité na uzavřeném a omezeném intervalu; věty o střední hodnotě; úlohy na maxima a minima; vyšetření průběhu funkce a sestrojení jejího grafu).

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné (primitivní funkce a určitý integrál – definice, vlastnosti, výpočetní metody; užití v geometrii, nevlastní integrál).

Číselné řady (definice, vlastnosti; sčítání řad; kritéria konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence).

Diferenciální rovnice (existence a jednoznačnost řešení; lineární diferenciální rovnice, struktura řešení lineárních rovnic).

Statistika a pravděpodobnost (náhodné veličiny, nezávislost, normální rozdělení, testování hypotéz, popisná statistika).

Teorie čísel – malá Fermatova věta a čínská věta o zbytcích, kvadratické reziduum.

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám – jednoobor

Student matematiky má při SZZ prokázat, že si osvojil v dostatečné šíři a v potřebných souvislostech základní poznatky a dovednosti z matematické analýzy, teoretické aritmetiky, algebry, syntetické a analytické geometrie a že je dokáže aplikovat při řešení praktických i teoretických úloh. Součástí zkoušky může být i prokázání početních dovedností. Nejsou povoleny žádné materiály.

Požadavky z matematiky

Základy matematiky (matematická logika, množiny).

Číselné obory.

Poziční soustavy, znaky dělitelnosti, diofantické rovnice, malá Fermatova věta a Eulerova věta.

Lineární algebra (matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic, vektorové prostory, lineární zobrazení).

Relační struktury (uspořádání, ekvivalence).

Polynomy (algebraické a funkční pojetí polynomu, dělitelnost, algebraické řešení rovnic, numerické řešení rovnic).

Vlastní čísla, vlastní vektory, podobné matice.

Euklidovský vektorový prostor.

Matice ortogonální, unitární, hermitovské a blokové.

Operace s relacemi.

Relace na množině a její vlastnosti

Relace dělitelnosti a její vlastnosti

Částečně uspořádané množiny, polosvazy, svazy a Bolleovy algebry

Matice symetrií a symetrické matice

Grupy a symetrie

Symetrické polynomy

Algebraické struktury (grupa, okruh, obor integrity, těleso).

Trojúhelník, výšky, těžnice, kružnice opsaná a vepsaná, Pythagorova a Eukleidovy věty, věty o shodnosti a podobnosti, sinová a kosinová věta, obsah trojúhelníku.

Čtyřúhelník, mnohoúhelníky (vlastnosti a konstrukce).

Vektor (volný, vázaný), útvary v E2 a E3 a jejich incidenční vztahy studované pomocí vektorů. Repér, soustava souřadnic daná repérem, báze.

Geometrické transformace studované syntetickou (v E2,E3) i analytickou (v E2) metodou.

Shodnosti v rovině a prostoru (skládání shodností, klasifikace shodností podle samodružných bodů a směrů, shodnosti přímé a nepřímé, grupa shodností).

Podobnosti v rovině (vlastní a nevlastní podobnosti, grupa podobností), stejnolehlost.

Dělicí poměr, dvojpoměr, Cevova věta, Menelaova věta.

Kružnice, mocnost bodu ke kružnici, chordála kružnic, kružnice v stejnolehlosti.

Kruhová inverze, Apolloniovy úlohy (pouze synteticky).

Afinity v A2, jejich klasifikace, syntetický i analytický popis, grupa afinit.

Kuželosečky (polohové a metrické vlastnosti).

Polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru (vzdálenosti, odchylky)

Geometrická tělesa (objemy a povrchy), Platónská tělesa, Eulerova věta.

Elementární funkce (definice, základní funkce (mocninné, odmocninné, lomené, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické), spojitost, algoritmy vyšetřování – definiční obor, obor hodnot, inverzní funkce, lineární transformace grafů).

Rovnice a nerovnice (rovnice a nerovnice v reálném oboru a jejich řešení; soustavy rovnic, rovnice s parametrem; úpravy rovnic a jejich ekvivalence; logaritmické, exponenciální, goniometrické a cyklometrické rovnice a nerovnice).

Posloupnosti (definice, vlastnosti, limita posloupnosti a její výpočet).

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (spojitost, limita a derivace – definice, vlastnosti, výpočet; vlastnosti funkce spojité na uzavřeném a omezeném intervalu; věty o střední hodnotě; úlohy na maxima a minima; vyšetření průběhu funkce a sestrojení jejího grafu).

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné (primitivní funkce a určitý integrál – definice, vlastnosti, výpočetní metody; užití v geometrii, nevlastní integrál).

Číselné řady (definice, vlastnosti; sčítání řad; kritéria konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence).

Diferenciální rovnice (existence a jednoznačnost řešení; lineární diferenciální rovnice, struktura řešení lineárních rovnic).

Statistika a pravděpodobnost (náhodné veličiny, nezávislost, normální rozdělení, testování hypotéz, popisná statistika).

Teorie čísel – malá Fermatova věta a čínská věta o zbytcích, kvadratické reziduum