Navazující magisterské studium učitelství 2. a 3. stupně

Cílem magisterského studia Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika je poskytnout jeho absolventům ucelené magisterské vzdělání, které je připraví pro profesi učitele matematiky na 2. stupni základní školy, v odpovídajících ročnících víceletých gymnázií a na všech typech středních škol. Studijní obor respektuje vyváženost kognitivní, didaktické a pedagogicko-psychologické složky přípravy. Důraz je kladen na konstruktivistické přístupy ke vzdělávání a uplatňování didaktických inovací ve vyučování matematice s přihlédnutím k současným didaktickým koncepcím. Absolventi studijního oboru budou připraveni na konstrukci školních vzdělávacích programů se zaměřením na integraci různých částí matematiky (aritmetika, algebra, geometrie, statistika, finanční matematika, atd.) a různých vzdělávacích oblastí. Absolventi studijního oboru získají dostatek vědomostí a dovedností k tomu, aby mohli ve vyučování i mimo ně diferencovaně pracovat se žáky talentovanými v matematice. Profil absolventa magisterského studijního oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika odpovídá „obecnému“ profilu absolventa magisterského studijního programu Učitelství pro střední školy ve studijním oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ na UK v Praze, Pedagogické fakultě.

Vymezení výstupních znalostí a dovedností – všeobecných, odborných a speciálních: Absolvent studijního oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika získá potřebné vědomosti a dovednosti pro výkon profese plně kvalifikovaného učitele předmětu matematika na 2. stupni základní školy, v odpovídajících ročnících víceletých gymnázií a na všech typech středních škol. Absolvent tohoto studijního oboru má rozsáhlé matematické, didaktické a pedagogicko-psychologické vzdělání. Je vybaven vědomostmi a dovednostmi ze základních matematických disciplín, z oblasti řešení matematických úloh na různých úrovních a z historie matematiky. Umí tvořivě aplikovat moderní didaktické metody a formy práce do vyučování matematice. Je schopen se podílet na tvorbě školních vzdělávacích programů ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace včetně interdisciplinárního propojování učiva. Je schopen identifikovat žáky s matematickým talentem a poskytnout jim kvalifikovanou pomoc. Stejně tak je schopen identifikovat žáky s poruchami učení v matematice a zajistit pro ně potřebnou pomoc. Ovládá základní výzkumné metody didaktiky matematiky a umí je aplikovat především při diagnostice žákovských chyb.

Kvalifikační připravenost a míra profesní adaptability na podmínky a požadavky praxe: Absolvent studijního oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika má všechny předpoklady pro to, aby přispěl k utváření matematické kultury svých žáků a aby jim ukázal matematiku jako předmět, který má konkrétní výstupy do praxe. Vzhledem ke své přípravě je schopen profesní adaptability především na podmínky různých stupňů a typů škol.Charakteristika profesí a institucí, kde může uplatnit získané vzdělání: Absolvent studijního oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika je plně kvalifikovaným učitelem matematiky pro 2. stupeň základní školy, odpovídající ročníky víceletých gymnázií a všechny typy středních škol.Jeho široké matematické, společenskovědní a pedagogicko-psychologické vzdělání vytváří předpoklady pro samostatnou volbu profesní orientace. Je učitelem, který dokáže tvořivě reagovat na potřeby výuky na různých stupních a typech škol. Může se uplatnit i mimo školství, např. v mediích, úřadech a institucích, především se zaměřením na vzdělávání a na práci s talenty v matematice.Absolvent studijního oboru Učitelství VVP pro ZŠ a SŠ – Matematika může pokračovat ve svém vzdělávání v rámci doktorského studijního programu Didaktika matematiky, který je na UK v Praze, Pedagogické fakultě akreditován (viz sekce Doktorandům).

Požadavky k přijímacím zkouškám

Aktuální informace k přijímacímu řízení na navazující magisterské studium naleznete na stránkách fakulty, kde si vyhledáte Učitelství všeobecně vzdělávacích předmětů pro základní a střední školy – matematika.

Témata diplomových prací

Téma diplomové práce si student může vybrat z nabídky ze seznamu v SIS, případně si vymyslet vlastní téma a dohodnout se přímo s vyučujícím.

Odevzdávání diplomových prací

Student odevzdává jeden výtisk diplomové práce na sekretariát KMDM v době, kdy odevzdá elektronickou verzi práce. Nezáleží na způsobu, jakým je výtisk svázán. Výtisk bude po obhajobě studentovi vrácen.

Klauzurní práce (pro studenty, kteří vstoupili do studia před 2021/22)

Nutným předpokladem pro připuštění k SZZ je vykonání tzv. klauzurní práce. Ta je konána třikrát ročně v určitém předstihu před SZZ: v prosinci nebo lednu, v květnu nebo červnu a v srpnu nebo září. Do tohoto předmětu se student přihlásí kdykoli během studia, je možné se do něj přihlásit pouze jednou. Možnost skládat zkoušku se přesouvá automaticky do dalších semestrů a let, student může zkoušku absolvovat celkem třikrát.

Obsah souborné zkoušky tvoří řešení dvou úloh – úlohy jsou vytvářeny na základě úloh ze sbírky maturitních úloh: Zhouf, J.: Písemné maturitní zkoušky do gymnaziálních tříd se zaměřením na matematiku, PedF UK Praha, 2014. Úlohy jsou řešitelné metodami středoškolské matematiky. Je dovolen jen kalkulátor (nikoli grafický). Žádná jiná technická zařízení není dovoleno používat, a to ani mobilní telefony. Není dovoleno používat žádné písemné materiály. V zadání se může objevit libovolná úloha z tohoto vydání, neexistuje žádné omezení (tedy rokem, chybou ve vydání, či zaměřením úlohy).

Zde si můžete stáhnout řešení některých úloh ke sbírce maturitních úloh, která je podkladem pro klauzurní práci v NM studiu matematiky

Nahlížení do testů je možné max. do 14 dnů po datu konání klauzurní práce.

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám (pro studenty, kteří vstoupili do studia od 2021/22)

Požadavky jsou k dispozici zde.

Požadavky ke státním závěrečným zkouškám (pro studenty, kteří vstoupili do studia před 2021/22)

Požadavky z didaktiky matematiky

V didakticko-matematické SZZ se předpokládá, že student shrne propedeutiku pojmů a didaktické přístupy k výuce daného tématu. Tyto přístupy opře o znalost zákonitostí pojmotvorného procesu v matematice (o teorii generických modelů), bude je koncipovat v souladu s konstruktivistickými přístupy k vyučování zaměřenými na porozumění matematice a pojedná o možných přínosech i rizicích. Dále bude schopen hovořit o problémech, které v dané oblasti žáci mají, a navrhne jejich reedukaci. Jako samozřejmá se předpokládá znalost daného tématu na úrovni střední školy (gymnázia), obeznámenost studenta s učebnicemi pro gymnázia a alespoň s jednou řadou učebnic pro základní školy a znalost kurikulárních dokumentů z hlediska výuky matematiky (RVP, ŠVP). V přiměřené míře student opírá své úvahy o znalosti z oblasti historie matematických poznatků.

Okruhy z didaktiky matematiky

Teorie generických modelů (nemodel, zdánlivý model, překvapivý model, formální poznání, izolovaný model, generický model procesuální a konceptuální, zobecňování, abstrakční zdvihy, abstraktní poznání, krystalizace, reedukace)
Konstruktivistické přístupy k výuce matematiky, podnětná výuka
RVP, ŠVP, klíčové kompetence, průřezová témata, individuální studijní plán, TIMSS, PISA (základní informace o povaze výzkumů)
Slovní úlohy, slovní úlohy s antisignálem, operátorové slovní úlohy, role čísla ve slovních úlohách (identifikátor, mnohost, operátor porovnání, změny, části, aditivní, multiplikativní)
Sémantické a strukturální modely pro výuku záporných čísel a zlomků
Krokování, číselná osa a jejich využití pro zavedení operací se zápornými čísly
Zavedení násobení dvou záporných čísel, zavedení dělení celých čísel
Číselná osa a její využití pro porozumění číslům a číselným operacím
Různé interpretace zlomku, zavedení operací se zlomky, zlomková zeď, kmenové zlomky
Reálná čísla, izolované modely iracionálních čísel
Různé role písmene v matematice, tři způsoby chápání proměnné, tři pilíře výuky algebry, geometrické modely některých algebraických identit, analogie mezi aritmetikou a algebrou a její narušení
Modely pro výuku lineárních rovnic, model vah, rovnítko jako ekvivalence
Kvadratická rovnice, gradované úlohy na zavedení řešení kvadratických rovnic, odvození doplnění na čtverec a vztahu pro výpočet kořenů, souvislost s grafickou reprezentací
Prostor geometrických objektů a vztahů (teoretický), prostor prostorově grafických entit (reprezentací), obrázky v geometrii – jejich role a porozumění, dohoda (konvence) v geometrii
Definování základních geometrických objektů, konstrukční úlohy (co je dáno a co se hledá, jak se řeší), prototypy v geometrii, potřeba konkrétnosti v konstrukčních úlohách
Didaktika stereometrie – modely, typy úloh, rozvoj prostorové představivosti, hra Sova
Zavedení Thaletovy věty, Pythagorovy věty, vzorců pro obsahy, objemy a povrchy
Pojmotvorný proces v oblasti míry v geometrii, nečíselný přístup k míře v geometrii (dynamický přístup k obsahu), úlohy na umění vidět
Analytická geometrie – propedeutika, zavedení analytického vyjádření útvarů
Závislosti a funkce, propedeutika, definice funkce na základní a střední škole, přímá a nepřímá úměrnost (modely, nemodely, zdánlivé modely) a problematika trojčlenky, různé reprezentace funkce a přechod mezi nimi
Definování goniometrických funkcí na základní a střední škole, přechod od definice pomocí pravoúhlého trojúhelníku k jednotkové kružnici a grafu, odvození kosinové a sinové věty
Odvození kombinatorických vztahů, úlohy se společnou strukturou (na komb. pravidlo součtu a součinu, na kombinace, variace, permutace), různé způsoby organizace dat u komb. úloh („stromečky“, tabulky, náčrty, diagramy apod.)
Různé definice pravděpodobnosti (klasická, statistická, geometrická), podmíněná pravděpodobnost
Matematizace reálných situací (model), plán statistického zkoumání, základní pojmy statistiky střední školy, způsoby zavádějící prezentace výsledků statistického zkoumání, krabicový graf
Výroková logika – problém interference běžného jazyka (implikace, negace, disjunkce, ekvivalence), odvození tabulky pravdivostních hodnot, obecný a existenční kvantifikátor (příklady ze základní a střední školy), role důkazů ve školské matematice, argumentace, typy důkazů
Rozdíl mezi geometrií na papíře a geometrií na počítači, funkce stopa, posuvníky, specifické dovednosti nutné pro práci v GeoGebře, možnosti a rizika programů dynamické geometrie, úlohy vhodné pro využití v těchto programech
Žáci se specifickými poruchami učení v matematice a talentovaní žáci v matematice, specifika, možnosti reedukace, možnosti rozvíjení talentu.
Následující okruh je jen pro jednoobor: Specifika výuky matematiky formou CLIL, hodnocení v CLIL, scaffolding, práce s autentickými texty v CLIL

SZZ pro jednoobor má ještě druhou část. Ta se bude týkat přípravy na výuku. Cca měsíc před konáním bude zveřejněno 10 témat/pojmů, k nimž si studenti předem připraví vzorovou výuku na max. dvě vyučovací hodiny, jak by dané téma/pojem v určitém ročníku vyučovali tak, aby žáci mohli dospět i ke konceptuálnímu poznatku, nejen k deklarativnímu a procedurálnímu. Jedno téma si student při SZZ vylosuje a připravenou výuku stručně předvede s komentářem komisi. Přípravu si s sebou přinese v elektronické podobě a bude ji s komisí sdílet.

Nad danou přípravou bude rozprava. Předpokládá se, že hodina/hodiny budou připraveny strukturovaně, s jasně vymezeným cílem a popsanými aktivitami pro žáky i učitele. Dalším předpokladem je, že hodiny budou připraveny tak, aby mohli mít na získání nového poznatku velký podíl sami žáci (tedy nejde o výklad učitele). Student by měl být schopen zdůvodnit jednotlivé části přípravy, proč vypadají právě tak a jaké alternativy zvažoval (toto nebude součástí písemné přípravy). Měl by také být schopen zařadit tuto hodinu do kontextu předchozí hodiny a hodiny následující. Hodina by měla být připravena v přehledném grafickém formátu.

Témata pro leden 2025: hodina pro SŠ zaměřena na matematizaci reálných situací; rozvíjení prostorové představivosti (6. ročník), jednoduché úrokování (9. ročník), lineární funkce - zavedení (8. ročník), typy úhlů v rovině - zavedení (6. ročník), Thaletova kružnice - zavedení (9. ročník), lineární nerovnice - úvodní hodina (SŠ), grafické řešení soustavy rovnic (SŠ), pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů - úvodní hodina (SŠ), stejnolehlost - úvodní hodina (SŠ).

Požadavky z matematiky

Matematická část sestává z okruhů středoškolské matematiky, které mají přesah na vysokou školu. Pro přípravu ke státním zkouškám pro tento přesah mohou studenti čerpat z knih a materiálů, které jsou níže doporučeny (většina z nich je k dispozici ve studovně), případně jiných podobných, které používali v průběhu svého studia odborné matematiky. U otázky budou žádáni, aby daný pojem/téma pojednali z hlediska základní/střední školy (jak je pojem definován, jak je téma zavedeno) a z hlediska vyšší matematiky probírané na vysoké škole. Proto doporučujeme využít pro přípravu ke státním zkouškám jako základní literaturu řadu učebnic pro střední školy (gymnázia) nakladatelství Prometheus, které pokrývají všechna níže uvedená témata/pojmy. Podrobnější obsah většiny níže uvedených témat lze najít v Katalogu požadavků pro Matematiku+ (http://www.novamaturita.cz/zakladni-informace-1404036731.html).

Okruhy z matematiky

Číselné obory včetně oboru komplexních čísel

[Botur, M. (2011) Úvod do aritmetiky, On-line: https://kag.upol.cz/ucitprir/texty/Aritmetika_botur.pdf. Kubínová, M., & Novotná, J. (1997). Posloupnosti a řady. Praha: Univerzita Karlova. Michal, J. (2018). Číselné obory a soustavy. [Bakalářská práce.] Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta.]

Kartézský součin množin, binární relace na množině, binární operace na množině a její vlastnosti, algebraické struktury s jednou a dvěma vnitřními operacemi, svazy; rozklad množiny podle ekvivalence, Peanovy axiómy; konstrukce číselných oborů a jejich vlastnosti.

Dělitelnost, modulární aritmetika, diofantovské rovnice

[Harminc, M. (2015). Elementární teorie čísel. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. Calda, E. (1995). Rovnice ve škole neřešené. Praha: Prometheus.]

Definice dělitelnosti, NSD a nsn jako svazové operace, dělitelnost jako uspořádání, modulární aritmetika a její využití, řešení lineárních kongruencí a jejich soustav, řešení kvadratických kongruencí, malá Fermatova věta, Eulerova věta, čínská věta o zbytcích, RSA věta o kvadratické reciprocitě, difantické rovnice, Pellova rovnice.

Algebraický výraz, jeho definice a úpravy (ekvivalentní, neekvivalentní), smysluplnost výrazu, definiční obor

[Novotná, J. & Trch, M. (2004). Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 3. část – Základy algebry. 2. vydání (1. vydání 1993). Praha: Univerzita Karlova. http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/vladimira_pavlicova_bp/Algebraicke_vyrazy.php]

Algebraický výraz, definiční obor výrazu, ekvivalentní a neekvivalentní úprava.

Lineární rovnice a jejich soustavy, včetně rovnic s parametrem, definice, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy

[Hruša, K., Dlouhý, Z. , Rohlíček, J. (1991). Úvod do studia matematiky. Praha: Univerzita Karlova. Novotná, J., Trch, M. (2006). Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 1. část – Lineární algebra. 3. vydání (1. vydání 1990). Praha: Univerzita Karlova. Katriňák, T. et al. (1985). Algebra a teoretická aritmetika 1. Bratislava: Alfa + SNTL, pracovní text ke stažení zde]

Lineární rovnice o jedné a více neznámých, řešení lineární rovnice, ekvivalentní úpravy, důsledkové úpravy, soustava lineárních rovnic, matice soustavy, rozšířená matice soustavy, Gaussova eliminační metoda, homogenní a nehomogenní rovnice/soustava rovnic, rovnice v anulovaném tvaru. Řešení lineární rovnice, metody řešení soustavy lineárních rovnic, věta o množině řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, věta o počtu řešení, souvislost mezi řešením homogenní a nehomogenní soustavy rovnic se stejnou maticí soustavy.

Algebraické rovnice, řešitelnost, rozložitelnost polynomu, vícenásobné kořeny, diskriminant

[Novotná, J., Trch, M. (2000). Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 2. část – Polynomická algebra. 2. vydání (1. vydání 1990). Praha: Univerzita Karlova. Hruša, K., Dlouhý, Z., Rohlíček, J. (1991). Úvod do studia matematiky. Praha: Univerzita Karlova.]

Algebraická rovnice o jedné a více neznámých, řešení algebraické rovnice, ekvivalentní úpravy, důsledkové úpravy, vícenásobné kořeny, násobnost kořene, rozložitelné/nerozložitelné polynomy nad R, C, algebraické řešení rovnice, odstranění vícenásobných kořenů polynomické rovnice; rozklad lomené racionální funkce na parciální zlomky, diskriminant a jeho výpočet.

Řešení algebraické rovnice, řešení rovnic s parametrem, základní věta algebry a její důsledky, vlastnosti celočíselných a racionálních kořenů algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty, podmínky pro algebraickou řešitelnost algebraické rovnice, speciální typy algebraických rovnic (reciproké, bikvadratické apod.) včetně postupu, jak je vyřešit, snížení stupně algebraické rovnice, Hornerovo schéma a jeho užití, Taylorův polynom, metody odstranění vícenásobných kořenů polynomické rovnice

Lineární a kvadratické nerovnice a jejich soustavy včetně nerovnic s absolutní hodnotou, přístup algebraický a geometrický

[Novotná, J., Trch, M. (2004). Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 3. část – Základy algebry. 2. vydání (1. vydání 1993). Praha: Univerzita Karlova. Hruša, K., Dlouhý, Z., Rohlíček, J. (1991). Úvod do studia matematiky. Praha: Univerzita Karlova.]

Funkce jako předpis a jako relace, základní vlastnosti, základní funkce, jejich definice a grafy, transformace, vztahy pro základní funkce, funkční operace včetně skládání, inverzní funkce a její vlastnosti

[http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Zaklady_matematiky/Kapitola2.pdf, http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/25_MI_KAPI_1_5.pdf, Jarník, V. Diferenciální počet. Díl 1. 6. vyd. Praha: Academia, 1974]

Zobrazení, definiční obor, obor hodnot, inverzní zobrazení; funkce, graf funkce; prostota, omezenost, ohraničenost, monotonie (v bodě a na množině), konvexnost a konkávnost, parita, periodicita; množinové vlastnosti použité pro funkce (zvláště supremum, infimum, maximum a minimum), lokální extrémy; základní funkce: konstantní, identická, mocninné a odmocninné, exponenciální (středoškolsky (pro racionální exponenty) a pomocí nástrojů matematické analýzy), logaritmické, goniometrické (středoškolsky a pomocí nástrojů matematické analýzy (alespoň pro jednu funkci)), cyklometrické; funkce signum, Dirichletova funkce, Riemannova funkce; aritmetické operace na funkcích, skládání; polynomy, racionální funkce, algebraické a transcendentní funkce, elementární funkce. Příklady funkcí splňujících/nesplňujících výše uvedené vlastnosti; vztah bodové monotonie a monotonie na intervalu; vlastnosti inverzních funkcí (včetně monotonie); grafy a vlastnosti výše uvedených funkcí (včetně limit a spojitosti), algoritmy nalézání definičního oboru a inverzní funkce k elementárním funkcím; nalézání funkcí daných vlastností nebo důkaz jejich neexistence (např. ohraničená funkce rostoucí na R, klesající sudá funkce apod.).

Rovnice a nerovnice v rámci elementárních funkcí, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy [pracovní text viz výše u tématu Lineární rovnice, http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Zaklady_matematiky/Kapitola3.pdf]

Rovnice, soustava rovnic, rovnice s parametrem, řešení rovnice; ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic a jejich soustav. Základní ekvivalentní úpravy rovnic, středoškolské úpravy; význam prostoty a monotonie funkce při úpravách rovnic a nerovnic, použité neprosté úpravové funkce (zvláště druhé mocniny); grafické řešení rovnic a nerovnic jedné a dvou reálných proměnných; algebraické a numerické řešení rovnic, bisekce, regula falsi a Newtonova metoda; užití nástrojů diferenciálního počtu při řešení rovnic a nerovnic.

Limita funkce, spojitost, derivace, integrál; aplikace

[Veselý, J. Matematická analýza pro učitele. 1. a 2. díl. Vyd. 2. upr. Praha: MATFYZPRESS, 2001. Jarník, V. Diferenciální počet. Díl 1. 6. vyd. Praha: Academia, 1974. Jarník, V. Diferenciální počet II. 4. vyd. Praha: Academia, 1984. Jarník, V. Integrální počet I. Praha: Academia, 1984: vše dostupné na http://matematika.cuni.cz/jarnik-all.html, pracovní text ke stažení zde]

Limita funkce, spojitost funkce v bodě a na intervalu, derivace funkce v bodě a derivace jako funkce, primitivní funkce, Newtonův a Riemannův integrál. Existence a jednoznačnost limity; Weierstrassova věta; příklady funkce nespojité v každém bodě a funkce spojité v izolovaném bodě; věty o střední hodnotě diferenciálního počtu s grafickou interpretací; užití limity a derivace při určování vlastností funkce (omezenost, monotonie, suprémum, infimum, globální a lokální extrémy, konvexnost a konkávnost, inflexní body); příklady slovních úloh na hledání extrémů pomocí derivace; L’Hospitalovo pravidlo; tečna grafu funkce; (ne)jednoznačnost primitivní funkce; význam Newton-Leibnizovy formule; aplikace Riemannova integrálu (obsah plochy ohraničené grafy funkcí, délka grafu funkce, obsah pláště a objem rotačního tělesa aj.).

Posloupnosti, definice, explicitní a rekurentní zadání, vlastnosti, limita

[Veselý, J. Matematická analýza pro učitele. 1. a 2. díl. Vyd. 2. upr. Praha: MATFYZPRESS, 2001. Jarník, V. Diferenciální počet. Díl 1. 6. vyd. Praha: Academia, 1974. Jarník, Vojtěch. Diferenciální počet II. 4. vyd. Praha: Academia, 1984: vše dostupné na http://matematika.cuni.cz/jarnik-all.html, pracovní text viz téma Limita funkce]

Posloupnost; explicitní a rekurentní zadání posloupnosti, aritmetická a geometrická posloupnost; prostota, ohraničenost, omezenost a monotonie posloupnosti; limita posloupnosti; vybraná posloupnost, hromadný bod posloupnosti; asymptotické chování posloupností. Nalézání posloupností daných vlastností, např. posloupnosti neohraničené shora ani zdola; existence a jednoznačnost limity; nezávislost limity na posunutí, přerovnání a výběru; základní metody výpočtu limit (aritmetika limit, věta o dvou policajtech) s příklady; limity a částečné součty aritmetické a geometrické posloupnosti; užití limity posloupnosti k definici exponenciální funkce; existence hromadného bodu posloupnosti; vztah mezi limitou a hromadným bodem.

Řady a jejich součty, příklady, konvergence řad, kritéria, Taylorovy řady a jejich aplikace

[Veselý, J. Matematická analýza pro učitele. 1. a 2. díl. Vyd. 2. upr. Praha: MATFYZPRESS, 2001. Jarník, V. Diferenciální počet. Díl 1. 6. vyd. Praha: Academia, 1974. Jarník, V. Diferenciální počet II. 4. vyd. Praha: Academia, 1984. Jarník, V. Integrální počet I. 6., nezměn. vyd. Praha: Academia, 1984: vše dostupné na http://matematika.cuni.cz/jarnik-all.html]

Aritmetická a geometrická posloupnost, částečné součty. Řady čísel: vztah posloupnosti a řady, součet řady, harmonická řada, konvergence, divergence (resp. divergentní a oscilující řady), absolutní konvergence, vybraná posloupnost (podposloupnost), přerovnání. Posloupnosti a řady funkcí: bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, rozvoj funkcí v mocninné řady.

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, Dirichletův princip, kombinatorické skupiny

[M. Kubesa: Základy diskrétní matematiky. https://dl1.cuni.cz/mod/resource/view.php?id=194414. T. Roskovec: Kombinatorika na želvách, https://dl1.cuni.cz/mod/resource/view.php?id=194437]

Základní kombinatorická pravidla, kombinace, variace, permutace (i s opakováním), Dirichletův princip. Základní organizační principy používané při řešení kombinatorických úloh, ukázky.

Pravděpodobnost, základní pojmy, určení pravděpodobnosti v diskrétním a spojitém případě, podmíněná pravděpodobnost

[Mošna, F., 2017. Pravděpodobnost a náhodné veličiny, Praha: PedF UK, Robová, J. a kol., 2013, Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Praha: Prometheus]

Definice pravděpodobnosti v diskrétním i spojitém případu, náhodná veličina, podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost jevů, distribuční funkce, kvantily, hustota pravděpodobnosti, střední hodnota, rozptyl, nezávislost náhodných veličin, kovariance, korelace. Gaussovy křivky, vztah kvantilu a distribuční funkce. Základní věty.

Statistika, základní pojmy, popisná statistika, testování hypotéz

[F. Mošna: Statistické zpracování dat na PC, http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxwcm9qZWt0YWxtYW1hdGVyfGd4OjM0YTRiYmJmOGRhYjY1ZDc]

Prvky popisné statistiky: náhodná veličina, znak, statistický soubor dat (základní a výběrový), rozsah souboru, četnost, odhady charakteristik – (aritmetický) průměr, modus, medián, kvartil, (základní) směrodatná odchylka, výběrová směrodatná odchylka, rozpětí, mezikvartilové rozpětí, grafické popisy souboru dat – histogram, kruhový diagram, krabicový graf (box-plot), listový graf (leave-plot). Kvantil, odlehlá hodnota, korelační koeficient, lineární regresní model, koeficient determinace. Základy testování hypotéz: náhodný výběr, nulová a alternativní hypotéza, chyba 1. druhu, hladina testu, p-hodnota.

Trojúhelníky, čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, jejich vlastnosti a věty, množiny bodů dané vlastnosti, kružnice, její vlastnosti a věty, Apolloniovy úlohy

[Boček L., Zhouf J.: Planimetrie, Praha: PedF UK 2009,Vyšín J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I, Praha: SPN 1965,Kuřina F.: 10 Geometrických transformací, Praha: Prometheus 2002; Pomykalová E.: Planimetrie. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus 2005.]

Trojúhelník, Těžnice trojúhelníku, Těžiště trojúhelníku, Výška trojúhelníku, Ortocentrum trojúhelníku, Klasifikace trojúhelníků, Čtyřúhelník, Klasifikace čtyřúhelníků, Mnohoúhelník, Pravidelný mnohoúhelník, Konvexní útvar, Osa úsečky, Osa úhlu, Kružnice, Mocnost bodu ke kružnici, Chordála dvou kružnic. Menelaova v., Cevova v., Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku, O průniku těžnic, O průniku výšek, O kružnici vepsané, O kružnici opsané, Sinová v., Trojúhelníková nerovnost, Eukleidovy v., Pythagorova v., Thalétova v., Kosinová v., Odvození obsahu trojúhelníku, O obvodovém a středovém úhlu, O úsekovém úhlu, Obvod a délka oblouku kružnice, Obsah kruhu, výseče a úseče, Věta o mocnosti bodu ke kružnici a sečně, Tečnový čtyřúhelník, Tětivový čtyřúhelník, Součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku, Počet uhlopříček konvexního mnohoúhelníku, Odvození délky poloměru kružnice opsané a vepsané pravidelnému mnohoúhelníku, Odvození obsahu pravidelného mnohoúhelníku, Konstrukce pravidelného pětiúhelníků, Konstrukce tečen kružnice daným bodem, Konstrukce tečen dvou kružnic, řešení Apolloniovych úloh pomocí množin bodů daných vlastností, dilatace, podobností a shodností, kruhové inverze.

Kuželosečky, analytické a syntetické definice, projektivní, afinní, eukleidovské vlastnosti, určení a klasifikace kuželoseček

[Boček L.: Geometrie I, II, Praha: SPN 1986,1988.; Lávička M.: Geometrie 1, 2 (viz https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=4573)]

Kuželosečka – analytická definice v projektivním prostoru a eukleidovském prostoru, definice jako řez kuželové a válcové plochy, ohnisková definice, Matice kuželosečky, Regulární a singulární kuželosečka, Reálná a imaginární kuželosečka, Polárně sdružené body, Regulární a singulární body kuželosečky, Pól a polára, Tečna kuželosečky, Průměr kuželosečky, Sdružené průměry, Asymptotický směr a asymptota kuželosečky, Střed kuželosečky, Středová a nestředová kuželosečka, Hlavní směry kuželosečky, Osy kuželosečky, Vrchol kuželosečky, Ohniska kuželosečky, Průvodiče, Řídicí kružnice, Vrcholová kružnice, Subtangenta a subnormála paraboly
Bod polárně sdružený s body na přímce, Vzájemnost pólu a poláry, Tečna a průnik kuželosečky s polárou, Tečna jako osa úhlů průvodičů, Bodové konstrukce regulárních kuželoseček, Vlastnost subtangenty paraboly, Vztah subnormály a parametru paraboly, Quetelet-Dandelinova věta.

Polohové a metrické vlastnosti útvarů v rovině, tří a vícerozměrném afinním a eukleidovském prostoru

[Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, II, Praha: SPN 1986,1988., Lávička M.: Geometrie 2 (viz https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=6687), Vyšín J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I, Praha: SPN 1965, Pomykalová, E.: Matematika pro gymnázia – Stereometrie, Prometheus, 2010, Kočandrle, R.: Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, Prometheus, 2010]

Kolineární body, Konkurentní přímky, Komplanární body, Svazek přímek a rovin, Trs přímek a rovin, Vzájemná poloha podprostorů, Úhel, Kolmost podprostorů, Odchylky podprostorů, Vzdálenost, Vzdálenosti podprostorů, Obsah, Objem. Konstrukce příčky mimoběžek daným bodem a směrem, Kritéria rovnoběžnosti a kolmosti podprostorů, Analytické metody určování polohy, odchylky a vzdáleností podprostorů.

Geometrická tělesa, hranatá a rotační tělesa, odvození objemů a povrchů, řezy jehlanů a hranolů, Eulerova věta pro mnohostěny, platónská tělesa, konvexnost

[Kadleček J., Boček L..: Základy stereometrie pro II. ročník tříd gymnázií se zaměřením na matematiku. Praha: SPN 1986., Urban A.: Deskriptivní geometrie I, Vyšín J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I, Praha: SPN 1965, Pomykalová, E.: Matematika pro gymnázia – Stereometrie, Prometheus, 2010]

Geometrické těleso, Mnohostěn a konvexní mnohostěn, Konvexní množina, Platónske těleso, Obsah, Povrch, Objem, Jehlanová plocha, jehlan a typy jehlanů, Hranolová plocha, hranol a typy hranolů, Kuželová plocha, kužel a typy kuželů, Válcová plocha, válec a typy válců, Kulová plocha a koule. Eulerova věta pro mnohostěny, Platónska tělesa, Cavalieriho princip, Odvození objemu a povrchu hranolu, jehlanu, komolého jehlanu, válce, kuželu, komolého kuželu, koule a její částí, Řezy hranolů a jehlanů.

Geometrická zobrazení (synteticky i analyticky): kolineární, afinní, podobné, shodné, jejich klasifikace, invarianty a samodružné prvky, skládání zobrazení

[Kuřina F.: 10 Geometrických transformací, Praha: Prometheus 2002, Lávička M.: Geometrie 2 (viz https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=4573), Janyška J.: Geometrie 2 (https://www.math.muni.cz/~janyska/AFPR-2018.pdf)]

Geometrické zobrazení, Samodružný bod, přímka, směr, Identita, Přímé a nepřímé zobrazení, Kolineární zobrazení, Kolineace, Středová kolineace, Dvojpoměr, Harmonická čtveřice, Afinní zobrazení, Afinita, Osová afinita, Charakteristika osové afinity, Elace, Ekviafinita, Základní afinita, Dělicí poměr, Podobné zobrazení, Podobnost, Stejnolehlost, Shodné zobrazení, Shodnost, Osová souměrnost, Posunutí, Otočení, Posunutá osová souměrnost, Souměrnost podle nadroviny. Invarianty kolineace, afinity, podobnosti, shodnosti, Grupa afinit, podobností, shodností, Grupa translací, Grupa přímých shodností, Mongeova grupa, Rozložení afinity na základní afinity, Stejnolehlost dvou kružnic a Mongeova věta, Rozložení shodnosti na souměrnosti, Rozložení jednotlivých typů shodností v rovině na osové souměrnosti, Souměrnost a věta o involutorních shodnostech, Skládání shodností a podobností v rovině, Samodružný bod vlastní podobnosti, Analytické vyjádření jednotlivých typů geometrických zobrazení, Odvození vztahů pro matice a determinanty matic afinního, podobného a shodného zobrazení, Analytické odvození výpočtu samodružných prvků, Určení samodružných prvků jednotlivých typů podobností a shodností v rovině, Klasifikace shodností v prostoru.

Vektorový prostor, operace s vektory; Zavedení soustavy souřadnic v eukleidovském, afinním a projektivním prostoru, homogenní souřadnice, analytické vyjádření útvarů, projektivní rozšíření eukleidovského prostoru, modely projektivního rozšíření, použití skalárního a vektorového součinu, nevlastní prvky, princip duality

[Boček L.: Geometrie II, Praha: SPN ,1988.; Lávička M.: Geometrie 2 (viz https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=4573), Janyška J.: Geometrie 2 (https://www.math.muni.cz/~janyska/AFPR-2018.pdf)]

Vektorový prostor, Vektor, Skalární součin, Vektorový součin, Afinní prostor, repér, lineární soustava souřadnic, Afinní podprostory a jejich vyjádření, Euklidovský prostor, Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru, Projektivní prostor, aritmetická a geometrická báze, Projektivní homogenní souřadnice, Projektivní podprostory a jejich vyjádření, Princip duality. Odvození vztahu mezi vzdáleností a skalárním součinem, Odvození vztahu pro vzdálenost bodu od nadroviny a přímky, Odvození a geometrická interpretace odchylky dvou vektorů, Modely projektivního rozšíření euklidovského prostoru, Využití skalárního a vektorového součinu při řešení polohových vztahů v projektivní rovině.

SZZ pro jednoobor bude ještě sestávat ze zkoušky týkající se matematického obsahu studovaného v rámci NM studia, tedy následujících okruhů: Svazy, Normální podgrupy, faktorové grupy, Ideál, Grupy symetrií, Kvadriky, Základní poznatky a axiomatika projektivní geometrie, Základní poznatky a axiomatika neeuklidovské geometrie, Nekonstruovatelnost: trisekce, pravidelný sedmiúhelník, “a, b, ró”, Řešení rovnice třetího stupně, Rovnoběžné a středové promítání, Mongeovo promítání.

ARCHIV K SZZ

Od akademického roku 2019/2020 budou požadavky k SZZ sjednoceny bez ohledu na to, kdy student započal studia. Bude použit model, který je nyní uveden jen pro studenty, kteří začali studovat v roce 2017/2018.

Dvouobor: Didaktika bez ohledu na počátek studia pdf / doc, Matematika 2017/2018 pdf/ doc, Matematika 2015-2017 pdf/ doc, Matematika 2012-2014 pdf/ doc, Matematika 2011 a dříve pdf / doc

Jednoobor: Didaktika bez ohledu na počátek studia pdf / doc, Matematika 2017/2018 pdf / doc, Matematika 2015-2017 pdf / doc, Matematika 2012-2014 pdf / doc, Matematika 2011 a dříve pdf / doc